Question

已知函数f(x)=log2

x

4

•log22x．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）当x∈[1，4]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先根据对数的运算性质对解析式化简，再令log₂x=t代入f（x）＞0，进而转化为关于t的二次不等式，求出t的范围再求对应的x的范围；
（2）由x∈[1，4]求出t∈[0，2]，代入后进行配方，利用二次函数的性质求出f（x）的最值即可．

解答：解：（1）f（x）=log2

x

4

•log22x
=（log₂x-2）•（log₂x+1）…（2分）
令log₂x=t，∴f（x）=g（t）=（t-2）•（t+1），
由f（x）＞0，可得（t-2）（t+1）＞0，∴t＞2或t＜-1，…（4分）
∴log₂x＞2 或log₂x＜-1，∴x＞4或0＜x＜

1

2

．…（6分）
∴不等式的解集是(0，

1

2

)∪(4，+∞)．…（7分）
（2）∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，…（8分）
∴f(x)=g(t)=(t-

1

2

)2-

9

4

，…（9分）
∴fmin(x)=g(

1

2

)=-

9

4

，…（11分） 
f_max（x）=g（2）=0，…（13分）
∴f（x）的值域是[-

9

4

，0]．…（14分）

点评：本题考查了对数的运算性质，对数函数和二次函数性质的应用，以及换元法求函数的值域问题．