Question

设集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+2（a+1）x+（a²-5）=0}．
（1）若A∩B={2}，求实数a的值；
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先解出集合A，根据2是两个集合的公共元素可知2∈B，建立关于a的等式关系，求出a后进行验证即可．
（2）一般A∪B=A转化成B⊆A来解决，集合A两个元素故可考虑对集合B的元素个数进行讨论求解．
解答：解：由x²-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}
（1）∵A∩B={2}，∴2∈B，代入B中的方程，
得a²+4a+3=0⇒a=-1或a=-3；
当a=-1时，B={x|x²-4=0}={-2，2}，满足条件；
当a=-3时，B={x|x²-4x+4=0}={2}，满足条件；
综上，a的值为-1或-3；
（2）对于集合B，
△=4（a+1）²-4（a²-5）=8（a+3）．
∵A∪B=A，∴B⊆A，
①当△＜0，即a＜-3时，B=∅满足条件；
②当△=0，即a=-3时，B={2}，满足条件；
③当△＞0，即a＞-3时，B=A={1，2}才能满足条件，
则由根与系数的关系得
⇒矛盾；
综上，a的取值范围是a≤-3．
点评：本题主要考查了交集并集以及一元二次方程的解法，属于基础题，考查分类讨论的思想．