Question

把一个正方体的每个角沿各棱的中点都截去一个三棱锥，变成一个新的几何体，那么在新几何体中任意两个顶点连成直线段，则其位于正方体内部的概率为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：根据题意，新得到的几何体有12个顶点，由组合数公式可得从中任取两点连成直线段的情况数目，再分析其中直线段位于正方体内部的情况：用间接法，新几何体在原正方体的一个侧面上有4个点，从中任取两点连成直线段直线段不在原正方体的内部，由组合数可得其条数，进而可得所有不在正方体的内部的直线段的条数，进而可得在正方体的内部的直线段的条数；由等可能事件的概率计算可得答案．
解答：根据题意，新得到的几何体有12个顶点，从中任取两点连成直线段，共有C₁₂²=66种情况，
其中原正方体的一个侧面上有4个点，从中任取两点连成直线段，有C₄²种情况，这些直线段不在原正方体的内部，
正方体共6个面，则不在原正方体的内部，即在其表面的有6×C₄²=36种情况；
则在正方体的内部的有66-36=30条；
则概率为=；
故选B．
点评：本题考查等可能事件的概率，涉及正方体的结构特征；关键在于用间接法找到在正方体的内部的直线段的条数．