Question

下列各命题中，不正确的是（　　）

A．若f（x）是连续的奇函数，则 ∫ α-α f(x)dx=0

B．若f（x）是连续的偶函数，则 ∫ a-a f(x)dx=2 ∫ a0 f(x)dx

C．若f（x）在[a，b]上连续且恒正，则 ∫ ba f(x)dx＞0

D．若f（x）在[a，b]上连续，且 ∫ ba f(x)dx＞0，则f（x）在[a，b]上恒正

Answer 1

A．∵f（x）是连续的奇函数，∴

∫

a-a

f(x)dx=

∫

0-a

f(x)dx+

∫

x0

f(x)dx=-

∫

a0

f(x)dx+

∫

a0

f(x)dx=0，故A正确；
B．∵f（x）是连续的偶函数，∴

∫

a-a

f(x)dx=

∫

0-a

f(x)dx+

∫

a0

f(x)dx=2

∫

a0

f(x)dx，故B正确；
C．∵f（x）在[a，b]上连续且恒正，∴

∫

ba

f(x)dx＞

∫

ba

0dx=0，故C正确；
D．举反例：

∫

2-1

x3dx=

x4

4

|

2-1

=4-

1

4

＞0，而f（x）=x³在区间[-1，0）上恒小于0，即函数f（x）在区间[-1，2]上不恒为正，故D不正确．
综上可知：只有D不正确．
故选D．