Question

已知函数f（x）=lnx+ax-a²x²（a∈R）
（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（2）若a≥0，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）确定函数f（x）的定义域，利用x=1是函数y=f（x）的极值点，可得f'（1）=0，从而可求a的值；
（2）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）、…（1分）
f′(x)=

1

x

+a-2a2x=

-2a2x2+ax+1

x

、
因为x=1是函数y=f（x）的极值点，所以f'（1）=1+a-2a²=0、…（5分）
所以a=-

1

2

或a=1、
经检验，a=-

1

2

或a=1时，x=1是函数y=f（x）的极值点、
所以a的值是-

1

2

或1、…（6分）
（2）由（1）知：f′(x)=

1

x

+a-2a2x=

-2a2x2+ax+1

x

、
若a=0，f′(x)=

1

x

＞0，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；  …（8分）
若a＞0，令f′(x)=

(2ax+1)(-ax+1)

x

=0，解得x1=-

1

2a

，x2=

1

a

、
当a＞0时，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x	(0， 1 a )	1 a	( 1 a ，+∞)
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

∴函数y=f（x）的单调递增区间是(0，

1

a

)，单调递减区间是(

1

a

，+∞)．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．