题目内容
数列an+1=|an-4|+2（n∈N*），如果{an}是一个等差数列，则a1= ．
分析：根据数列{an}是一个等差数列，设出等差数列的公差，由条件an+1=|an-4|+2（n∈N*），建立方程关系即可求出结论．
解答：解：若{an}是等差数列，设公差为 d，
∵an+1=|an-4|+2（n∈N*），
∴a1+nd=|a1+（n-1）d-4|+2，
化简得 nd+（a1-2）=|nd+（a1-2）+（-d-2）|，
上式对任意正整数 n 恒成立，因此
①若d=0，则 a1=3；
②如d＜0，不可能，∵当 n 趋于无穷时，左边为负数；
③如d＞0，则-d-2=0，
解得d=-2＜0，矛盾，
∴当且仅当 a1=3 时，数列{an}是等差数列．
故答案为：3．
∵an+1=|an-4|+2（n∈N*），
∴a1+nd=|a1+（n-1）d-4|+2，
化简得 nd+（a1-2）=|nd+（a1-2）+（-d-2）|，
上式对任意正整数 n 恒成立，因此
①若d=0，则 a1=3；
②如d＜0，不可能，∵当 n 趋于无穷时，左边为负数；
③如d＞0，则-d-2=0，
解得d=-2＜0，矛盾，
∴当且仅当 a1=3 时，数列{an}是等差数列．
故答案为：3．
点评：本题主要考查等差数列的应用，根据条件建立方程是解决本题的关键，注意要对d进行讨论．
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