Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）在线段CC₁上是否存在一点E，使得直线A₁E与平面A₁BD所成的角的正弦值为

3

3

，若存在，试确定E的位置，并判断平面A₁BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，我们易得A₁B⊥AB₁，AC₁⊥A₁B，由线面垂直的判定定理可得A₁B⊥面AB₁C₁，进而A₁B⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁，结合垂直的判定定理可得B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）证法1：过点E作EF∥AC₁交直线A₁D于F，则∠EA₁F就是直线A₁E与平面A₁BD所成的角，结合已知中直线A₁E与平面A₁BD所成的角的正弦值为

3

3

，设AB=BB₁=2，CE=x，构造关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到结论．
证法2：以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设设AB=BB₁=2，CE=x，结合已知中直线A₁E与平面A₁BD所成的角的正弦值为

3

3

，构造关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到结论．

解答：解：（1）∵AB=B₁B
∴四边形ABB₁A₁为正方形，
∴A₁B⊥AB₁
又∵AC₁⊥面A₁BD，
∴AC₁⊥A₁B，
∴A₁B⊥面AB₁C₁，
∴A₁B⊥B₁C₁
又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁…（6分）
（2）证法1：假设在线段CC₁上存在点E，使得直线A₁E与平面A₁BD所成的角的正弦值为

3

3

，设AB=BB₁=2，CE=x，
过点E作EF∥AC₁交直线A₁D于F，则EF⊥面A₁BD，所以∠EA₁F就是直线A₁E与平面A₁BD所成的角，
所以sin∠EA1F=

EF

A1E

，而EF=

1

3

(x+2)，A1E=

8+(2-x)2

所以得x=1
即E是C₁C的中点     …（12分）
∵D、E分别为AC、C₁C的中点，∴DE∥AC₁
∵AC₁⊥平面A₁BD，∴DE⊥平面A₁BD
又∵PE?平面BDE，∴平面ABD⊥平面BDE…（14分）
证法2：设AB=BB₁=2，CE=x，∵D为AC的中点，且AC₁⊥A₁D，
∴A₁B=A₁C₁=2

2

又∵B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，B₁C₁⊥A₁B₁∴B₁C₁=2，
以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），D（1，1，0），A₁（2，0，2），E（0，2，x），

BD

=(1，1，0)，

BA1

=(2，0，2)，

A1E

=(-2，2，x-2)，则平面A₁BD的法向量

n

=(1，-1，-1)，
由|cos?

n

，

A1E

＞|=

|x+2|

3 (x-2)2+8

=

3

3

得x=1即E是C₁C的中点
∵D、E分别为AC、C₁C的中点，∴DE∥AC₁∵AC₁⊥平面A₁BD，∴DE⊥平面A₁BD
又∵PE?平面BDE，∴平面ABD⊥平面BDE…（14分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是熟练掌握直三棱柱的几何特征及线面垂直的判定定理，（2）的关键是设出CE=x，结合已知中直线A₁E与平面A₁BD所成的角的正弦值为

3

3

，构造关于x的方程．