Question

17．已知实数a，b，c，d满足$\frac{{a-2{e^a}}}{b}=\frac{1-c}{d-1}=1$，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为8．

Answer 1

分析 由已知得点（a，b）在曲线y=x-2e^x上，点（c，d）在曲线y=2-x上，（a-c）²+（b-d）²的几何意义就是曲线y=x-2e^x到曲线y=2-x上点的距离最小值的平方．由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答 解：∵实数a，b，c，d满足$\frac{a-2{e}^{a}}{b}$=$\frac{1-c}{d-1}$=1，
∴b=a-2e^a，d-1=1-c，
∴点（a，b）在曲线y=x-2e^x上，点（c，d）在曲线y=2-x上，
（a-c）²+（b-d）²的几何意义就是曲线y=x-2e^x到曲线y=2-x上点的距离最小值的平方．
考查曲线y=x-2e^x上和直线y=2-x平行的切线，
∵y′=1-2e^x，求出y=x-2e^x上和直线y=2-x平行的切线方程，
∴令y′=1-2e^x=-1，
解得x=0，∴切点为（0，-2），
该切点到直线y=2-x的距离d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{1+1}}$=2$\sqrt{2}$就是所要求的两曲线间的最小距离，
故（a-c）²+（b-d）²的最小值为d²=8．
故答案为：8．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意曲线的切线方程、点到直线的距离公式两点间距离公式的合理运用．