Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+acosB=2ccosC，△ABC的面积为4

3

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a=2，求边长c．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理将边化成角，再根据和角公式进行化简即可求出角C；
（2）根据面积先求出b，再利用余弦定理建立关于c的等式关系，解方程即可．

解答：解：（Ⅰ）∵bcosA+acosB=2ccosC，①
由正弦定理知，b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC，②（2分）
将②式代入①式，得2sinBcosA+2sinAcosB=4sinCcosC，
化简，得sin（A+B）=sinC=2sinCcosC．（5分）
∵sinC≠0，
∴cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

．（7分）
（Ⅱ）∵△ABC的面积为4

3

，
∴

1

2

absinC=4

3

，
∴ab=16．
又∵a=2，
∴b=8．
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
即

22+82-c2

2×16

=

1

2

，
∴c=2

13

．（12分）

点评：本题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，正弦定理、余弦定理是解决有关斜三角形的两个重要定理，属于基础题．