Question

（2013•淄博一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，P为DN的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥MC；
（Ⅱ）在线段AB是否存在点E，使得AP∥平面NEC，若存在，说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）易得BD⊥AC，MA⊥平面ABCD，进而可得MA⊥BD，结合AC∩MA=A，由线面垂直的判定可得BD⊥平面AMC，进而可得结论；（2）当E为线段AB中点时，会使AP∥平面NEC，取NC中点F，可证四边形AEPF为平行四边形，可得AP∥EF，由线面垂直的判定可得结论．

解答：解：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
又ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，所以MA⊥平面ABCD，
所以MA⊥BD，又因为AC∩MA=A，由线面垂直的判定可得BD⊥平面AMC
又因为AC?平面AMC，所以BD⊥MC；
（2）当E为线段AB中点时，会使AP∥平面NEC，下面证明：
取NC中点F，连接EF，PF，可得AE∥CD，且AE=

1

2

CD，
由三角形的中位线可知，PF∥CD，且PF=

1

2

CD，
故可得AE∥PF，且AE=PF，即四边形AEPF为平行四边形，
故可得AP∥EF，又AP?平面NEC，EF?平面NEC，
所以AP∥平面NEC，
故当E为线段AB中点时，会使AP∥平面NEC

点评：本题考查直线与平面平行的判定，以及直线与直线垂直的证明，属中档题．