Question

已知抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．

(1)求抛物线方程；

(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；

(3)以M为圆心，MB为半径作圆M．当K(m，0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝． 　　于是，4＋＝5，∴p＝2． 　　∴抛物线方程为y2＝4x． 　　(2)∵点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)． 　　又∵F(1，0)，∴kFA＝，又MN⊥FA，∴kMN＝，则FA的方程为y＝，MN的方程为y－2＝， 　　解方程组得 　　∴N()． 　　(3)由题意得，圆M的圆心是点(0，2)，半径为2，当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时，直线AK与圆M相离． 　　当m≠4时，直线AK的方程为y＝(x－m)，即为4x－(4－m)y－4m＝0， 　　圆心M(0，2)到直线AK的距离 　　d＝， 　　令d＞2，解得m＞1， 　　∴当m＞1时，直线AK与圆M相离； 　　当m＝1时，直线AK与圆M相切 　　当m＜1时，直线AK与圆M相交．