Question

已知椭圆E:+=1(a>b>0),以抛物线y²=8x的焦点为顶点,且离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若F为椭圆E的左焦点,O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足=+,证明·为定值,并求出该值.

Answer 1

（1）+=1  （2），证明见解析

解析解:(1)抛物线y²=8x的焦点为(2,0),
又椭圆以抛物线焦点为顶点,
∴a=2,
又e==,
∴c=1,∴b²=3.
∴椭圆E的方程为+=1.
(2)由(1)知,F(-1,0),
由
消去y,得(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0.
∵l与椭圆交于两点,
∴Δ=(8km)²-4(3+4k²)(4m²-12)>0,
即m²<4k²+3.
设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
则x₁、x₂是上述方程的两个根,
∴x₁+x₂=-,x₁·x₂=,
又y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m
=k(x₁+x₂)+2m
=
∴=+=（-,）,
由点P在椭圆上,得+=1.
整理得4m²=3+4k²,
又Q(-4,-4k+m),
∴=(-3,-4k+m).
∴·=（-,）·(-3,m-4k)
=+
=
=.
即·为定值.