Question

已知数列{a_n}的前n项和为S，且对于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，设b_n=log₂（a_n+1）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（2）若cn=

2bn

an•an+1

，证明：c₁+c₂+…+c_n＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-n，得a₁=1，S_n-1=2a_n-1-（n-1），所以a_n=2a_n-2a_n-1-1，∴a_n=2a_n-1+1，由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n．由a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，知b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，n∈N⁺．
（3）Cn=

2n

anan+1

，Cn+1=

2n+1

an+1an+2

，由{a_n}为正项数列，所以{C_n}也为正项数列，从而

Cn+1

Cn

=

2an

an+2

=

2(2n-1)

2n+2-4

=

1

2

，所以数列{c_n}递减，由此能够证明c₁+c₂+…+c_n＜

4

3

．

解答：解：（1）当n=l时，S₁=2a₁-1，得a₁=1，∵S_n=2a_n-n，∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，∴a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2a_n-1+2=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，n∈N⁺，∴b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，n∈N⁺．
（2）Cn=

2n

anan+1

，Cn+1=

2n+1

an+1an+2

，由{a_n}为正项数列，所以{C_n}也为正项数列，
从而

Cn+1

Cn

=

2an

an+2

=

2(2n-1)

2n+2-4

=

1

2

，所以数列{c_n}递减，
所以c1+c2+…+cn＜ c1+

1

2

c1+(

1

2

)2c1+…+(

1

2

)n-1c1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

•c1＜ 

4

3

．

点评：本题考查求解数列通项公式的方法、数列前n项和的计算和递减数列前n项和最大值的证明，解题时要合理地运用数列的性质．