Question

如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为

1

n

(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，
如：

1

1

=

1

2

+

1

2

，

1

2

=

1

3

+

1

6

，

1

3

=

1

4

+

1

12

…，则第n（n≥3）行第3个数字是

2

n×(n-1)×(n-2)

．

Answer 1

分析：根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数C_n^r都换成分数 

1

(n+1) C r n

，就得到一个如图所示的分数三角形，最后即可求出第n（n≥3）行第3个数字．

解答：解：将杨晖三角形中的每一个数C_n^r都换成分数 

1

(n+1) C r n

，就得到一个如图所示的分数三角形，即为莱布尼兹三角形．
∵杨晖三角形中第n（n≥3）行第3个数字是C_n-1²，
则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥3）行第3个数字是

1

n C 2 n-1

=

2

n×(n-1)×(n-2)

．
故答案为：

2

n×(n-1)×(n-2)

．

点评：本题考查归纳推理、通过观察分析归纳各数的关系，据关系求出各值，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．