Question

已知a∈R，解不等式

x

x-1

＞a+1．

Answer 1

分析：转化分式不等式，通过a=0，a＞0，a＜0分别求解不等式的解集，即可．

解答：解：原不等式化为

-ax+(a+1)

x-1

＞0①
（1）当a=0时，原不等式为

-1

x-1

＜0⇒x＞1．
在①中，分子中x的系数含有字母a，分类讨论就从这里引起．
（2）当a≠0时，原不等式化为

a(x- a+1 a )

x-1

＜0．     ②
对于不等式②，分子中的系数a不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变．
当a＞0时，原不等式等价于

x- a+1 a

x-1

＜0．
由于

a+1

a

＞1，可解得1＜x＜

a+1

a

．也可先确定两根x₁，x₂ （x₁＜x₂），
然后直接写出解集．
当a＜0时，

a(x- a+1 a )

x-1

＜0等价于

x- a+1 a

x-1

＞0．
由

a+1

a

=1+

1

a

＜1可解得x＜

a+1

a

或x＞1．
综上，当a=0时原不等式的解集为（1，+∞）．
当a＞0时，解集为(1，

a+1

a

)
当a＜0时，解集为(-∞，

a+1

a

)∪(1，+∞)．

点评：本题考查分式不等式的解法，考查转化思想分类讨论思想，计算能力．