Question

（2013•丰台区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且过点P（2，

2

）．直线l过点F且交椭圆C于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M（

1

2

，0），求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可得

a2-b2=4 4 a2 + 2 b2 =1

，解出即可；
（Ⅱ）易知直线l存在斜率，设直线l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中点为N（x₀，y₀），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k表示出AB中点N的坐标，由题意得k_MN•k=-1，即

y0

x0- 1 2

•k=-1，把x₀，y₀用k表示出来即得关于k的方程，解出方程然后运用点斜式即可求得l的方程；

解答：解：（Ⅰ）由题意得，

a2-b2=4 4 a2 + 2 b2 =1

，解得a²=8，b²=4，
所以椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，不符合题意，
当斜率存在时设直线l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中点为N（x₀，y₀），
由

x2 8 + y2 4 =1 y=k(x-2)

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
因为△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-8）=32（k²+1）＞0，
所以x1+x2=

8k2

1+2k2

，
所以x0=

x1+x2

2

=

4k2

1+2k2

，y0=k(x0-2)=

-2k

1+2k2

，
因为线段AB的垂直平分线过点M（

1

2

，0），
所以k_MN•k=-1，即

y0

x0- 1 2

•k=-1，
所以-

2k2

1+2k2

=-

4k2

1+2k2

+

1

2

，
解得，k=±

2

2

，
所以直线l的方程为x-

2

y-2=0或x+

2

y-2=0．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，韦达定理、判别式是解决该类题目的常用知识，正确挖掘“线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M”所含信息是解决（Ⅱ）问的关键．