题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若不等式|f（x）-m|＜1对任意 $数学公式$ 恒成立，求实数m的取值范围．

解：（1）∵sinxcosx= $\text{[math]}$ sin2x，cos²x= $\text{[math]}$ （1+cos2x）
∴f（x）= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$ （1+cos2x）- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$ cos2x-1=sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1
令 $\text{[math]}$ +2kπ≤2x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ，k∈Z
解得 $\text{[math]}$ +kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调减区间为[ $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]，k∈Z
（2）不等式|f（x）-m|＜1，即-1+m＜f（x）＜1+m
∵ $\text{[math]}$ ，得2x- $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
∴-1≤sin（2x- $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ ，得f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1∈[-2，- $\text{[math]}$ ]
∵不等式|f（x）-m|＜1，对任意 $\text{[math]}$ 恒成立
∴-2≥-1+m且1+m≥- $\text{[math]}$ ，解之得- $\text{[math]}$ ≤m≤-1
即实数m的取值范围是[- $\text{[math]}$ ，-1]．
分析：（1）根据二倍角三角函数公式和辅助角公式，将函数化简整理得f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1，结合正弦函数单调区间的公式，解不等式即可得到函数f（x）的单调减区间；
（2）设不等式|f（x）-m|＜1的解集合是M，函数f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1在区间 $\text{[math]}$ 上的值域N，可得N是M的子集，由此建立关于m的不等式，解之即可得到实数m的取值范围．
点评：本题给出三角函数式，要求我们将其化简成标准形式，并求函数的减区间，着重考查了三角恒等变形和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．