Question

在Rt△ABC，∠C=90°中，且∠A、∠B、∠C所对边分别为a，b，c，若a+b=cx，则实数x的取值范围为______．

Answer 1

∵∠C=90°，∴sinC=1，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=c，
∴a=csinA，b=csinB，
∴a+b=csinA+csinB=cx，即sinA+sinB=x，
又A+B=90°，即B=90°-A，
∴sinB=sin（90°-A）=cosA，
则x=sinA+sinB=sinA+cosA=

2

（

2

2

sinA+

2

2

cosA）=

2

sin（A+

π

4

），
∵

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，
∴sin（A+

π

4

）∈（

2

2

，1），
∴

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

），
则x∈（1，

2

）．
故答案为：（1，

2

）