题目内容

已知函数f（x）=2cosxsin（x+ $数学公式$ ）- $数学公式$ sin²x+sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）当 $数学公式$ 时，求f（x）的值域．

解：f（x）=2cosxsin（x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ （sinx）²+sinxcosx=2cosx（sin $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sin2x
=sinxcosx+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
=sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x
=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
（1）因为T= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =π，所以函数的最小正周期是π．
（2）y=sinx的单调增区间是[2kπ- $\text{[math]}$ ，2kπ+ $\text{[math]}$ ]k∈Z，则函数f（x）=2cosxsin（x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ sin²x+sinxcosx
即：2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的单增区间：2x+ $\text{[math]}$ ∈[2kπ- $\text{[math]}$ ，2kπ+ $\text{[math]}$ ]
解得x∈[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）
（3） $\text{[math]}$ ，则2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，所以2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[ $\text{[math]}$ ，1]
所以函数的值域为：[ $\text{[math]}$ ，1]．
分析：函数f（x）=2cosxsin（x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ sin²x+sinxcosx，利用和角公式，以及二倍角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）利用周期公式直接求出f（x）的最小正周期；
（2）利用y=sinx的单调增区间，求出f（x）的单调增区间即可；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，求出2x+ $\text{[math]}$ 的范围，然后求出2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的范围就是求f（x）的值域．
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．