Question

已知函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求当x∈[0，

π

2

]时，函数f（x）的值域；
（3）当x∈[-π，π]时，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：利用二倍角公式，平方关系，两角和的正弦函数，化简函数f（x）为一个角的一个三角函数的形式，然后
（1）直接求出最小正周期
（2）先求出2x+

π

6

的取值范围，再求f（x）的值域．
（3）求出f（x）在R上的单调递减区间，再与∈[-π，π]取公共区间即可．

解答：解：y=2cos²x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)
（1）函数的周期T=

2π

2

=π
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．函数f（x）的值域是[-1，2]
（3）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ得x∈[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z，
当x∈[-π，π]时，分别取k=-1，0得f（x）的单调递减区间是
[-

5π

6

，-

π

3

]，[

π

6

，

2π

3

]

点评：本题考查三角函数公式的应用，三角函数的性质，考查转化、计算能力，是常规题目．