Question

【题目】已知函数有两个极值点(为自然对数的底数).

(1)求实数的取值范围;

(2)求证:

Answer 1

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

(1)求导后得出,由题参变分离再构造函数求构造函数的单调性与取值范围即可.

(2)利用极值点表示出与的关系,再将中的代换,构造函数再换元证明不等式即可.

(1)由,得,

由题意知函数有两个极值点,有两个不等的实数解.

即方程有两个不等的实数解.

即方程有两个不等的实数解.

设,则

在上单调递减,上单调递减,上单调递增,

作出函数图象知当时,直线与函数有两个交点,

当且仅当时有两个极值点,综上所述,.

(2)因为是的两个极值点,,

,

故要证,即证,即证,即证

不妨设,即证,即证

设,则,

易证,所以在上递减.,

得证.综上所述:成立,