Question

已知数列{a_n}的各项均为正整数，且满足a_n+1=a_n²-2na_n+2（n∈N^*），又a₅=11．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并由此推测出{a_n}的通项公式（不要求证明）；
（2）设b_n=11-a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，S_n′=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求

lim

n→∞

Sn

Sn′

的值．

Answer 1

（1）由a₅=11，得11=a₄²-8a₄+2，即a₄²-8a₄-9=0．解得a₄=9或a₄=-1（舍）．
由a₄=9，得a₃²-6a₃-7=0．
解得a₃=7或a₃=-1（舍）．
同理可求出a₂=5，a₁=3．
由此推测a_n的一个通项公式a_n=2n+1（n∈N^*）．
（2）b_n=11-a_n=10-2n（n∈N^*），可知数列{b_n}是等差数列．
S_n=

n(b1+bn)

2

=

n(8+10-2n)

2

=-n²+9n．
当n≤5时，S_n′=S_n=-n²+9n；
当n＞5时，S_n′=-S_n+2S₅=-S_n+40=n²-9n+40．
当n≤5时，

Sn

Sn′

=1；
当n＞5时，

Sn

Sn′

=

-n2+9n

n2-9n+40

．
∴

lim

n→∞

Sn

Sn′

=

lim

n→∞

-n2+9n

n2-9n+40

=-1．