Question

已知函数f（x）=

3

2

ax²，g （x）=-6x+ln x³（a≠0）．
（Ⅰ）若函数h （x）=f （x）-g （x） 有两个极值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程g （x）=x f′（x）-3（2a+1）x  无实数解？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）写出新构造的函数，由已知知道函数有两个极值点，对函数求导，题目转化成方程有两个不同的实根，根据实根分布写出判别式和根与系数的关系式，解出a的值．
（II）方程无实数解转化为关于函数H（x）在区间（0，+∞）内的零点问题，对函数求导，得到函数的单调区间，得到要使H（x）图象与x轴有无交点，只需函数的最小值大于0，解出a的值．

解答：解（Ⅰ）∵h（x）=f（x）-g（x）=

3

2

ax²+6x-3lnx（x＞0），
∴h′（x）=3ax+6-

3

x

．（2分）
∵函数h（x）有两个极值点，
∴方程h′（x）=3ax+6-

3

x

=

3(ax2+2x-1)

x

=0，
即ax²+2x-1=0应有两个不同的正数根，于是

△=22+4a＞0 x1+x2=- 2 a ＞ x1x2=- 1 a ＞0

0
?-1＜a＜0．（6分）
（Ⅱ）方程g（x）=xf′（x）-3（2a+1）x即为-6x+3lnx=3ax²-3（2a+1）x，
等价于方程ax²+（1-2a）x-lnx=0．
设H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，转化为关于函数H（x）在区间（0，+∞）内的零点问题（8分）
∵H′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，
且a＞0，x＞0，则当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．（10分）
因为x→0（或者x→+∞）时，H（x）→+∞，
∴要使H（x）图象与x轴有无交点，只需
H（x）_min=H（1）=a+（1-2a）=1-a＞0，结合a＞0得0＜a＜1，为所求．（12分）
答：（I）要求的a的取值范围是（-1，0）
（II）使得方程无实数解的a的取值是（0，1）

点评：解决本题时要注意题目中所应用的函数的思想，要使的函数与横轴无有交点，只要使得函数的最小值大于0即可，这种思想经常用到．