Question

（2011•惠州模拟）已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=S₃．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

1

bnbn+1

，数列{c_n}的前n项和为T_n，问T_n＞

1001

2012

的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析：（1）利用n=1时，a₁=S₁，可求a₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，可求数列{a_n}的通项公式，利用等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=S₃，可求{b_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求数列的和，结合T_n＞

1001

2012

，可求最小正整数n的值．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
即 

an

an-1

=2…（3分）
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1，Sn=2n-1…（5分）
设{b_n}的公差为d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（2）cn=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（10分）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（12分）
由T_n＞

1001

2012

，得

n

2n+1

＞

1001

2012

，解得n＞100.1
∴T_n＞

1001

2012

的最小正整数n是101…（14分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，掌握数列通项的特点，选择正确的求和方法是关键．