Question

已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？
（Ⅲ）当a=2时，设函数，若在区间[1，e]上至少存在一个x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立，试求实数p的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=alnx﹣ax﹣3=lnx﹣x﹣3；导函数为；
当0＜x＜1时，函数f（x）单调递增，
当时x＞1时，函数f（x）单调递减；
故减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）；
（Ⅱ）由（1，+∞），故g（x）=x²-2x，
g'（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵g（x）在区间（t，3）上总存在极值，
∴
解得．
所以当m在内取值时，对于任意的t∈[{1，2}]，
函数在区间（t，3）上总存在极值．
（Ⅲ）∴
①当p≤0时，由x∈[1，e]得px﹣≤0，﹣﹣2lnx＜0．
所以，在[1，e]上不存在x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立；
②当p＞0时，F'（x）=，∵x∈[1，e]，
∴2e﹣2x≥0，px²+p＞0，F'（x）＞0在[1，e]上恒成立，
故F（x）在[1，e]上单调递增．
∴．
故只要，，解得．
所以p的取值范围是．