题目内容

f（x）=x²-a^x，若对任意x∈（-2，1）， $数学公式$ 恒成立，则a的取值范围是________．

（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
分析：对任意x∈（-2，1）， $\text{[math]}$ 恒成立，等价于对任意x∈（-2，1），x²-a^x $\text{[math]}$ 恒成立．由x∈（-2，1）时，x²∈（0，4），利用极限思想进行分类讨论，能求出a的取值范围．
解答：∵对任意x∈（-2，1）， $\text{[math]}$ 恒成立，
∴对任意x∈（-2，1），x²-a^x $\text{[math]}$ 恒成立．
∵x∈（-2，1）时，∴x²∈（0，4），
当a＞1时，y=-a^x是减函数，t=x²在（-2，0）是减函数，在（0，1）是增函数．
∴当x²→0，即x→0时，x²-a^x→-1＜ $\text{[math]}$ ；
当x²→4，即x→-2时，x²-a^x→4- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，无解；
当x²→1，即x→1时，x²-a^x→1-a $\text{[math]}$ ，即a $\text{[math]}$ ．不成立．
此时，a的取值范围∅．
当0＜a＜1时，y=-a^x是增函数，t=x²在（-2，0）是减函数，在（0，1）是增函数．
∴当x²→0，即x→0时，x²-a^x→-1＜ $\text{[math]}$ ；
当x²→4，即x→-2时，x²-a^x→4- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，且0＜a＜1．解得0＜a＜ $\text{[math]}$ ；
当x²→1，即x→1时，x²-a^x→1-a $\text{[math]}$ ，即a $\text{[math]}$ ．且0＜a＜1．
解得 $\text{[math]}$ ．
此时，a的取值范围是（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
故答案为：（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和极限思想的合理运用．