Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．设向量

m

=(sinA，cosB)，

n

=(cosA，sinB)
（I）若

m

∥

n

，求角C；
（Ⅱ）若

m

⊥

n

，B=15°，a=

6

+

2

，求边c的大小．

Answer 1

（I）∵

m

∥

n

向量

m

=(sinA，cosB)，

n

=(cosA，sinB)
∴sinAsinB-cosAcosB=0
cos（A+B）=0，
∵0＜A+B＜180°，
∴A+B=90°，
∴C=180°-（A+B）=90°．
（Ⅱ）∵

m

⊥

n

∴sinAcosA+sinBcosB=0
即sin2A+sin2B=0，
∵B=15°，
∴sin2A+sin30°=0，
sin2A=-

1

2

，
∵0＜2A＜360°-2B=330°，
∴2A=210°，A=105°．
C=180°-15°-105°=60°．
根据正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

?

6 + 2

sin105°

=

c

sin60°

?c=

( 6 + 2 )sin60°

sin105°

．
∵sin105°=sin(45°+60°)=

6 + 2

4

，
∴c=

( 6 + 2 )× 3 2

( 6 + 2 ) 4

=2

3

．