Question

（2012•宿州三模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），并且经过点P（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=r²（b＜r＜a），若直线l与椭圆C只有一个公共点M，且直线l与圆O相切于点N；求|MN|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，a²-b²=1，将点P（1，

3

2

）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得：

1

a2

+

9 4

b2

=1，由此可得C的方程；
（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+t，由直线l与圆O相切，得t²=（1+k²）r²，由直线方程代入椭圆方程，利用直线l与椭圆C相切，可得xM=-

4k

t

，进而根据ON⊥MN，可得|MN|²=|OM|²-|ON|²=

4k2

3+4k2

+3-r2，利用基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意，a²-b²=1①，将点P（1，

3

2

）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得：

1

a2

+

9 4

b2

=1②
由①②解得a²=4，b²=3，故C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+t，
由直线l与圆O相切，得r=

|t|

1+k2

，∴t²=（1+k²）r²①…（7分）
由直线方程代入椭圆方程，消去y可得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-12=0  （*），
因为直线l与椭圆C相切，所以△=（8kt）²-4（3+4k²）（4t²-12）=0，得t²=3+4k²②，将②代入（*）式，
解得xM=-

4k

t

．…（9分）
由ON⊥MN，可得|MN|²=|OM|²-|ON|²=

4k2

3+4k2

+3-r2③，…（11分）
由①②可得k2=

r2-3

4-r2

④，将④代入③得|MN|²=7-r²-

12

r2

≤7-4

3

，
当且仅当r²=2

3

∈(3，4)时取等号，所以|MN|≤2-

3

所以|MN|的最大值为2-

3

…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，确定方程，正确运用基本不等式是关键，属于中档题．