Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点A（-2，0），离心率e=

1

2

，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点（不同于点A）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当|PQ|=

24

7

时，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（I）设出椭圆的标准方程根据题意可a，利用离心率求得c，则b可求得，椭圆的方程可得．
（II）解法一：设出直线PQ的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，设出P，Q的坐标，进而根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，则利用弦长公式可表示出|PQ|求得m，直线的方程可得．
解法二：设出直线PQ的方程为线PQ方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，设出P，Q的坐标，进而根据韦达定理表示出x₁+x₂和x_1x2，则利用弦长公式可表示出|PQ|求得m，直线的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知 a=2，e=

c

a

=

1

2

，
∴c=1，b²=a²-c²=3，--------------------------------------------------------（4分）
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．-------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）解法一：椭圆右焦点F（1，0）．
设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）．----------------------------------（7分）
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

得（3m²+4）y²+6my-9=0．①-----------（9分）
显然，方程①的△＞0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

．--（11分）|PQ|=

(m2+1)(y1-y2)2

=

(m2+1)( 36m2 (3m2+4)2 + 36 3m2+4 )

=12

(m2+1)2 (3m2+4)2

=12×

m2+1

3m2+4

=

24

7

．
解得m=±1．---------------------------------------------------------------------------（13分）
∴直线PQ 方程为x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1=0．----------（14分）
解法二：椭圆右焦点F（1，0）．
当直线的斜率不存在时，|PQ|=3，不合题意．
设直线PQ方程为y=k（x-1），--------------------------------------（7分）
由

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．   ①----（9分）
显然，方程①的△＞0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

．--------（11分）|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]

=

(1+k2)[( 8k2 3+4k2 )2-4• 4k2-12 3+4k2 ]

=12

(k2+1)2 (4k2+3)2

=12

k2+1

4k2+3

．
∵|PQ|=

24

7

，
∴12

k2+1

4k2+3

=

24

7

，解得k=±1．----------------------------------------------------（13分）
∴直线PQ的方程为y=±（x-1），即x+y-1=0或x-y-1=0．----------（14分）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生逻辑思维能力和统筹运算的能力．