Question

已知三个集合E={x|x²-3x+2=0},F={x|x²-ax+(a-1)=0},G={x|x²-3x+b=0}.问:同时满足FE,GE的实数a和b是否存在?若存在,求出a、b所有值的集合;若不存在,请说明理由.

Answer 1

思路分析:将集合之间的关系转化为二元一次方程的解之间的关系,从而求得a、b的值.

解:(1)由已知,E={1,2},又∵FE,∴F=或{1}或{2}.

①当F=时,即方程x²-ax+(a-1)=0无解.∴Δ=a²-4(a-1)＜0,

即(a-2) ²＜0,矛盾.

∴F不可能为,即F≠.

②当F={1}时,即方程x²-ax+(a-1)=0有两相等的实根为1,

由根与系数的关系知

∴即a=2时,FE.

③当F={2}时,即方程x²-ax+(a-1)=0有两相等的实根为2,

由根与系数的关系知∴

∴a无解,即不存在a的值使FE.

综上,a=2时,FE.

(2)当GE且E={1,2},∴G=或{1}或{2}或{1,2}.

①当G=时,即方程x²-3x+b=0无解.

∴Δ=9-4b＜0.∴b＞.此时GE.

②当G={1}时,即方程x²-3x+b=0有两相等的根为1.

由根与系数的关系知矛盾.

③当G={2}时,同理矛盾.

④当G={1,2}时,即方程x²-3x+b=0有两异根为1、2.

由根与系数的关系,知∴b=2.

综上知b=2或b＞时,GE.

综合(1)(2)知,同时满足FE,GE的a、b的值存在.

适合条件的a、b集合分别为{2}、{b|b=2或b＞}.