Question

二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0（a、b、c∈R）．
（1）求证：两函数图象交于不同的两点A、B．
（2）求证：方程f（x）-g（x）=0的两根均小于2．

Answer 1

分析：（1）要证两个函数交于不同的两点，只需把两个解析式联立起来证明根的判别式大于零即可；
（2）方程f（x）-g（x）=0得到方程为一元二次方程设出两解，利用公式法求出两解，判断其小于2即可；

解答：解：（1）联立两个解析式的：

f(x)=ax2+bx+c g(x)=-bx

得到ax²+bx+c=-bx即ax²+2bx+c=0，由于a+b+c=0，解得b=-a-c
则△=4b²-4ac=4（-a-c）²-4ac=4a²+4c²+4ac＞0
所以两函数图象交于不同的两点A、B；
（2）由方程f（x）-g（x）=0得：ax²+bx+c-（-bx）=0即ax²+2bx+c=0
∵由（1）得△=4b²-4ac＞0 则方程有两个不同的解设为x₁和x₂，
两解=

-2b± 4b2-4ac

2a

=

-b± b2-ac

a

，又因为a+b+c=0可得：两解-2=

c-a± b2-ac

a

＜0
所以方程f（x）-g（x）=0的两根均小于2得证．

点评：本题考查了函数与方程的综合应用．