题目内容

已知α，β∈（0，π），且tanα=2，cosβ=- $数学公式$ ．
（1）求cos2α的值；
（2）求2α-β的值．

解：（1）cos2α=cos²α-sin²α= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
因为tanα=2，所以 $\text{[math]}$ ，
所以cos2α= $\text{[math]}$ ．
（2）因为α∈（0，π），且tanα=2，所以 $\text{[math]}$
又cos2α= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
因为β∈（0，π），cosβ=- $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以sin（2α-β）=sin2αcosβ-cos2αsinβ
= $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，
∴2α-β=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用二倍角的余弦函数，通过分母“1=sin²α+cos²α”的代换，然后化简分式2tanα的形式，代入数值全家健康．
（2）通过α，β的范围求出sin2α，sinβ，通过二倍角的正弦函数，求出sin（2α-β）的值，结合角的范围求出角的大小即可．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角的余弦函数与两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力，注意角的范围是解题的关键．