Question

 

    如图，在三棱柱中，所有的棱长都为2，

   （Ⅰ）求证：；

   （Ⅱ）当三棱柱的体积最大时，求平面与平面所成的锐角的

         余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）证明：取的中点，连接，

    在三棱柱中，

    所有棱长都为2，

    则，……2分

    所以平面而平面，

    ∴            ……………………4分

   （Ⅱ）解法一：当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，

    此时平面.       ……………………6分

    设平面与平面的交线为，

    在三棱柱中，，平面，

    ∴，         ……………………8分

    过点作交于点，连接.由，知平面，

    ∴，故为平面与平面所成二面角的平面角。……10分

    在中，,则

    在中，，,…12分即平面与平面所成锐角的余弦值为。

    解法二：当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时

    平面.以所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，依题

    意得.

    由得，设平面的一个法向量为

    而，

    则，

    取………………10分

    ∵平面，

    ∴平面的一个法向量为

    ∴，

    故平面与平面所成锐角的1余弦值为。   ……………………12分