Question

椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．
（1）求椭圆T的方程；
（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且k_i≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用椭圆的定义，即可确定椭圆的标准方程；
（2）利用点差法，确定三条边所在直线的斜率，结合直线OM，ON，OP的斜率之和为0，即可得到结论．
解答：解：（1）设椭圆T的方程为（a＞b＞0），
由题意知：左焦点为F′（-2，0），所以2a=|EF|+|EF′|=+3，
解得a=2，
∵c=2，∴=2．
故椭圆T的方程为…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），
由：，，两式相减，得到
（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0
所以=，即，…（9分）
同理，
所以，
又因为直线OM，ON，OP的斜率之和为0，
所以=0 …（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．