Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）证明f（x）在定义域上是增函数；
（3）如果f（3）=1，求满足不等式f（x）-f（

1

x-2

）≥2的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令f（x•y）=f（x）+f（y）中x=y=1，从而求出f（1）的值；
（2）先证函数的奇偶性，然后任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（

x2

x1

）从而判断符号即可证得结论；
（3）在f（x•y）=f（x）+f（y）中，令x=y=3，求出f（9）=2，从而不等式可化为f（x）+f（x-2）≥f（9），即 f[x（x-2）]≥f（9），由此能求出x的范围．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；
（2）令y=

1

x

，得f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0，
∴f（

1

x

）=-f（x），
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（

x2

x1

），
由于

x2

x1

＞1，故f（

x2

x1

）＞0，从而f（x₁）＞f（x₂）．∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）由于f（3）=1，在f（x•y）=f（x）+f（y）中，令x=y=3，得f（9）=f（3）+f（3）=2，
又-f（

1

x-2

）=f（x-2），
∴所给不等式可化为f（x）+f（x-2）≥f（9），即 f[x（x-2）]≥f（9），
解

x＞0 x-2＞0 x(x-2)≥9

得x≥1+

10

．
∴x的取值范围是[1+

10

，+∞)．

点评：本题考查抽象函数的性质和应用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．