题目内容

3、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）．
分析：设出一个等比数列首项为a（a＞0），公比为q（q＞0），即a，aq，aq2，…，aqn-1．分别取各项的对数即得到lga，lgaq，lgaq2，…，lgaqn-1得到一个首项为lga，公差为lgq的等差数列．
解答：解：设等比数列的首项为a（a＞0），公比为q（q＞0），即a，aq，aq2，…，aqn-1．
分别取各项的对数即得到lga，lgaq，lgaq2，…，lgaqn-1．
即lga，lga+lgq，lga+2lgq，…，lga+（n-1）lgq．
这就形成首项是lga，公差是lgq的等差数列．
点评：考查学生运用等比数列性质的能力，以及等差数列确定方法的能力．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}，{bn}的各项均为正数，若对任意的正整数n，都有an，bn2，an+1成等差数列，且bn2，an+1，bn+12成等比数列．
（Ⅰ）求证数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）如果a1=1，b1=
2
，比较2n与2an的大小．
已知各项均为正整数的数列{an}满足a1＜4，an+1=2an+1，且
n
i=1
1
1+ai
＜
1
2
对任意n∈N﹡恒成立．数列{an}，{bn}满足等式2（λn+bn）=2nλn+an+1（λ＞0）．
（1）求证数列{ an+l}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）证明存在k∈N﹡，使得
bn+1
bn
≤
bk+1
bk
对任意n∈N﹡均成立．
在xoy平面上有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，对每个正整数n，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴及射线y=
3
x，（x≥0）都相切，且⊙Pn与⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
（1）求证：数列{xn}是等比数列，并求数列{xn}的通项公式；
（2）设数列{an}的各项为正，且满足an≤
xnan-1
xn+an-1
，a1=1，
求证：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜
5
4
-
1
3n-1
，（n≥2）
（3）对于（2）中的数列{an}，当n＞1时，求证：(1-an)2[
a
2
2
(1-
a
2
2
)2
+
a
3
3
(1-
a
3
3
)2
+…+
a
n
n
(1-
a
n
n
)2
]＞
4
5
-
1
1+an+
a
2
n
+…+
a
n
n
．
（2011•甘肃一模）设{an}，{bn}都是各项为正数的数列，对任意的正整数n，都有an，bn2，an+1成等差数列，bn2，an+1，bn+12成等比数列．
（1）证明数列{bn}是等差数列；
（2）如果a1=2，b1=2，记数列{
1an
}的前n项和为Sn，求证：Sn＜1（n∈N*．）
（2012•浙江模拟）已知各项均为非负实数的数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=0，b1=1．
（I）求证：数列{
bn
}是等差数列；
（II） 设Sn=
1
a2
+
1
a3
+…
1
an
，Tn=
1
b1
+
1
b2
+…
1
bn
，当n≥2，n∈N时，试比较
7
5
Sn与Tn的大小．

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