题目内容

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，点M位于线段PC上，PA∥平面MBD，已知AD=4， $数学公式$ ，AB=2CD=8．
（Ⅰ）求 $数学公式$ 的值；
（Ⅱ）证明：在△ABD内存在一点N，使MN⊥平面PBD，并求点N到DA，DB的距离．

解：（1）连接AC交BD于K，连接MK，则 $\text{[math]}$ ，
由PA∥平面MBD，平面PAC∩平面MBD=MK，
得PA∥MK，∴ $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）AD=4， $\text{[math]}$ ，AB=8，∴DA⊥DB，
如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则由题意得，D（0，0，0）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设点N的坐标为（x₀，y₀，0），
则 $\text{[math]}$ ，
因为MN⊥平面PBD，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
即点N的坐标为 $\text{[math]}$ ，（12分）
在平面直角坐标系xoy中，△ABD的内部区域满足不等式组 $\text{[math]}$
经检验，点N的坐标满足上述不等式组，
所以在△ABO内存在一点N，使MN⊥平面PBD，
由点N的坐标得点N到DA，DB的距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）连接AC交BD于K，连接MK，则 $\text{[math]}$ ，由PA∥平面MBD，结合直线与平面平行的性质得PA∥MK，利用比例线段即得 $\text{[math]}$ ；
（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出各顶点的坐标，在平面直角坐标系xoy中，△ABD的内部区域满足不等式组，从而得出在△ABO内存在一点N，使MN⊥平面PBD，由点N的坐标得点N到DA，DB的距离即可．
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的性质，点、线、面的距离的计算，其中根据已知得到DA⊥DB，建立空间坐标系，将问题转化为向量的计算问题是解答本题的关键．