Question

矩形ABCD中，AB=2，AD=

3

，H是AB中点，以H为直角顶点作矩形的内接直角三角形HEF，其中E，F分别落在线段BC和线段AD上，如图．记∠BHE为θ，记Rt△EHF的周长为l．
（1）试将l表示为θ的函数；
（2）求l的最小值及此时的θ．

Answer 1

分析：（1）利用EHF是直角三角形，求得∠AFH，进而利用H是AB中点分别求得FH，EH，进而求得

sinθ+cosθ+1

sinθ•cosθ

=1，进而推断出当F与D重合时，θ取到最小值，当E与C重合时，θ取到最大值，进而求得l的函数解析式及定义域．
（2）sinθ+cosθ=t，代入l的解析式中，利用θ的范围判断出t的范围，进而求得l的最小值和此时θ的值．

解答：解：（1）∵△EHF是直角三角形，∠BHE=θ，
∴∠AFH=θ，∵AB=2，H是AB中点，
∴AH=FHsinθ=1，FH=

1

sinθ

，同理EH=

1

cosθ

，
∴l=FH+EH+EF=

1

sinθ

+

1

cosθ

+

sinθ	2

+(

1

cosθ

)2)=

sinθ+cosθ+1

sinθ•cosθ

，
当F与D重合时，θ取到最小值

π

6

，当E与C重合时，θ取到最大值

π

3

，
∴θ∈[

π

6

，

π

3

]，∴l=

sinθ+cosθ+1

sinθ•cosθ

（θ∈[

π

6

，

π

3

]）；
（2）令sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ=

t2-1

2

，∴l=

t+1

t2-1 2

=

2

t-1

，
∵θ∈[

π

6

，

π

3

]，∴θ+

π

4

∈[

5π

12

，

7π

12

]，t=

2

sin（θ+

π

4

）∈[

6 + 2

4

，

2

]，
∴当t=

2

时，即θ=

π

4

时，l取到最小值

2

2 -1

=2（

2

+1）．t²

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．涉及了通过三角函数的数学模型解决实际问题的问题．