Question

4．设函数f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$（a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=1，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，再根据a的范围，求出函数的单调区间；
（Ⅱ）a=1时，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，定义域是x＞0，设F（x）=f（x）-（3-x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-3，由F（x）_min=F（1）=0，能够证明f（x）≥3-x．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=a1nx+$\frac{{2a}^{2}}{x}$（a≠0），
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{2a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{a（x-2a）}{{x}^{2}}$，
①当a＞0时，由f′（x）＞0得，x＞2a；由f′（x）＜0得，x＜2a．
∴f（x）（a≠0）的增区间是（2a，+∞），减区间是（0，2a）．
②当a＜0时，由f′（x）＜0恒成立，故f（x）（a≠0）在（0，+∞）递减；
（Ⅱ）证明：a=1时，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，定义域是x＞0，
设F（x）=f（x）-（3-x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-3，
F′（x）=$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=0，
x²+x-2=0
∴x=1，x=-2（舍去）
当F′（x）＞0时，x＞1；
当F′（x）=0时，x=1；
当F′（x）＜0时，x＞1．
∴F（x）_min=F（1）=0+1+2-3=0
∴F（x）≥0，
∴f（x）≥3-x．

点评 本题考查不等式的证明，考查函数的单调性的讨论，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，合理地运用导数知识解题．