Question

数列{a_n}满足：a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N，n≥2），其中a₄=365，
（1）求a₁，a₂，a₃； （2）若{

an+λ

3n

}为等差数列，求常数λ的值；（3）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）令数列的递推关系中的n依次取4，3，2，通过解方程求出a₁，a₂，a₃；
（2）求出数列{

an+λ

3n

}的第n项减去第n-1项求出差，由于差为常数，令2λ+1=0，求出常数λ的值．
（3）利用等差数列的通项公式先求出{

an- 1 2

3n

}的通项，通过解方程求出a_n，利用错位相减法求出前n项和．

解答：解：（1）a₁=5，a₂=23，a₃=95
（2）由{

an+λ

3n

}为等差数列可得：

an+λ

3n

-

an-1+λ

3n-1

为常数，
即

3n-(2λ+1)

3n

为常数，
所以2λ+1=0，
故λ=-

1

2

（3）由2）可得an=(n+

1

2

)3n+1
Sn′=  

3

2

×3+

5

2

×32+…+ (n+

1

2

)3n
3S_n′=

3

2

×32+

5

2

×33+…(n-

1

2

)×3n+(n+

1

2

)×3ⁿ⁺¹
∴-2Sn′=

9

2

+32+33+…+3n-(n+

1

2

)×3n+1
所以Sn=

n

2

(3n+1+1)

点评：求数列的前n项和时，应该先求出通项，判断出通项的特点，再选择合适的求和方法．