Question

将二项式（

x

+

1

4 x

）⁸的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有（　　）种．

• A、A

  3 7

• B、A

  6 6

  A

  3 6

• C、A

  6 6

  A

  3 7

• D、A

  7 7

  A

  3 7

Answer 1

分析：依题意，利用二项展开式的通项公式求得所有有理式项，再利用分步乘法计数原理计算即可．

解答：解：设二项式（

x

+

1

4 x

）⁸的展开式的通项为T_r+1，
则T_r+1=

C

r 8

•(

x

)8-r•x-

r

4

=

C

r 8

•x4-

3r

4

，
∵0≤r≤8，
∴-6≤-

3r

4

≤0，-2≤4-

3r

4

≤4，又r∈Z，
∴当r=0，4，8时，4-

3r

4

∈Z，
∴二项式（

x

+

1

4 x

）⁸的展开式中的所有有理式项共三项，
依题意，6项非有理式项自由排列，有

A

6 6

种方法，它们产生7个空位，让三项有理式项插空排列有

A

3 7

中方法，
由分步乘法计数原理得：有理式不相邻的排法有

A

6 6

A

3 7

种方法，
故选：C．

点评：本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查分步乘法计数原理，属于中档题．