Question

设函数f(x)=lg

a-x

1+x

，其中a为实常数．
（1）设a=1，请指出函数y=f（x）的图象；（在答题卡上写出图象的代号A，B，C或D）
（2）设a＞-1，试研究函数f（x）的奇偶性与单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先求出当a=1时函数f（x）的奇偶性和单调性，然后判定其图象；
（2）因为函数f（x）的定义域是（-1，a），所以，当a≠1时，函数f（x）非奇非偶，a=1时用定义进行判定即可，任取x₁，x₂∈（-1，a），且x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，根据单调性的定义可判定．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=lg

1-x

1+x

∴f(-x)=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f(x)，
即该函数f（x）是奇函数，f（x）是单调递减函数观察可选C …（4分）
（2）当且仅当a=1时，函数f（x）是奇函数．…（1分）
证：因为函数f（x）的定义域是（-1，a），所以，当a≠1时，函数f（x）非奇非偶；…（1分）
当a=1时，f(-x)=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f(x)，
所以，函数f（x）是奇函数．…（2分）f（x）是单调递减函数．      …（1分）
任取x₁，x₂∈（-1，a），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=lg

a-x1

1+x1

-lg

a-x2

1+x2

，∵

a-x1

1+x1

-

a-x2

1+x2

=

(a+1)(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

＞0，∴

a-x1

1+x1

＞

a-x2

1+x2

，
由函数y=lgx是单调递增函数，有lg

a-x1

1+x1

＞lg

a-x2

1+x2

，即f（x₁）＞f（x₂），
所以，f（x）是单调递减函数．    …（3分）

点评：本题主要考查了对数函数图象与性质的综合应用，以及函数的奇偶性和单调性的判定，属于中档题．