题目内容
设函数f(x)=lg(ax)•lg
（1）当a=0.1，求f（1000）的值．
（2）若f（10）=10，求a的值；
（3）若对一切正实数x恒有f(x)≤
，求a的范围．
| a |
| x2 |
（1）当a=0.1，求f（1000）的值．
（2）若f（10）=10，求a的值；
（3）若对一切正实数x恒有f(x)≤
| 9 |
| 8 |
分析：（1）当a=0.1时，f（x）=lg（0.1x）•lg
，把x=1000代入可求
（2）由f（10）=lg（10a）•lg
=（1+lga）（lga-2）=lg2a-lga-2=10可求lga，进而可求a
（3）由对一切正实数x恒有f(x)≤
可得lg（ax）•lg
≤
对一切正实数恒成立，整理可得2lg2x+lgalgx-lg2a+
≥0对任意正实数x恒成立，由x＞0，lgx∈R，结合二次函数的性质可得，△=lg2a-8(
-lg2a)≤0，从而可求
| 1 |
| 10x2 |
（2）由f（10）=lg（10a）•lg
| a |
| 100 |
（3）由对一切正实数x恒有f(x)≤
| 9 |
| 8 |
| a |
| x2 |
| 9 |
| 8 |
| 9 |
| 8 |
| 9 |
| 8 |
解答：解：（1）当a=0.1时，f（x）=lg（0.1x）•lg
∴f（1000）=lg100•lg
=2×（-7）=-14
（2）∵f（10）=lg（10a）•lg
=（1+lga）（lga-2）=lg2a-lga-2=10
∴lg2a-lga-12=0
∴（lga-4）（lga+3）=0
∴lga=4或lga=-3
a=104或a=10-3
（3）∵对一切正实数x恒有f(x)≤
∴lg（ax）•lg
≤
对一切正实数恒成立
即（lga+lgx）（lga-2lgx）≤
∴2lg2x+lgalgx-lg2a+
≥0对任意正实数x恒成立
∵x＞0，∴lgx∈R
由二次函数的性质可得，△=lg2a-8(
-lg2a)≤0
∴lg2a≤1
∴-1≤lga≤1
∴
≤a≤10
| 1 |
| 10x2 |
∴f（1000）=lg100•lg
| 1 |
| 107 |
（2）∵f（10）=lg（10a）•lg
| a |
| 100 |
∴lg2a-lga-12=0
∴（lga-4）（lga+3）=0
∴lga=4或lga=-3
a=104或a=10-3
（3）∵对一切正实数x恒有f(x)≤
| 9 |
| 8 |
∴lg（ax）•lg
| a |
| x2 |
| 9 |
| 8 |
即（lga+lgx）（lga-2lgx）≤
| 9 |
| 8 |
∴2lg2x+lgalgx-lg2a+
| 9 |
| 8 |
∵x＞0，∴lgx∈R
由二次函数的性质可得，△=lg2a-8(
| 9 |
| 8 |
∴lg2a≤1
∴-1≤lga≤1
∴
| 1 |
| 10 |
点评：本题主要考查了对数的基本运算性质的应用，二次函数恒成立问题的求解，属于基本公式及基本方法的简单应用．
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