Question

（2012•泉州模拟）已知数列{a_n}满足a1=1，an+1=

an

an+1

，(n≥1)，数列{b_n}满足b_n=lna_n，数列{c_n}满足c_n=a_n+b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试比较

n

i=1

(ai-1)与

n

i=1

bi的大小，并说明理由；
（3）我们知道数列{a_n}如果是等差数列，则公差d=

an-am

n-m

(n≠m)是一个常数，显然在本题的数列{c_n}中，

cn-cm

n-m

(n≠m)不是一个常数，但

cn-cm

n-m

(n≠m)是否会小于等于一个常数k呢？若会，求出k的取值范围；若不会，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

an

an+1

，两边取倒数得

1

an+1

=

1

an

+1，移向得

1

an+1

-

1

an

=1，判断出{

1

an

}是等差数列，求出{

1

an

}的通项公式后即可求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）得 an-1=

1

n

-1，bn=ln

1

n

，考虑到两个和式不易化简或作差比较，为此采用逐项大小比较的办法．构造函数f（x）=lnx-x+1，求导研究出f（x）的单调性，
可得出ln

1

i

≤

1

i

-1，即b_i≤a_i-1，当且仅当i=1时取等号．从而

n

i=1

(ai-1)≥

n

i=1

bi，当且仅当n=1时取等号．
（3）由（1）知cn=

1

n

+ln

1

n

，易知{c_n}是一个递减数列，取n=m+1，则

cn-cm

n-m

=cn-cm=(

1

m+1

+ln

1

m+1

)-(

1

m

+ln

1

m

)=-

1

(m+1)m

+ln(1-

1

m+1

)→0 (m→+∞)
所以k的取值范围是[0，+∞）．

解答：解：（1）由an+1=

an

an+1

两边取倒数，得：

1

an+1

=

1

an

+1⇒

1

an+1

-

1

an

=1，
∴{

1

an

}是等差数列，首项

1

a1

=1，公差d=1；
∴

1

an

=n，从而an=

1

n

，
（2）由（1）得 an-1=

1

n

-1，bn=ln

1

n

，
构造函数f（x）=lnx-x+1，
则f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）≤f（1）=0，
即?x＞0，lnx≤x-1，当且仅当x=1时取等号，
∴ln

1

i

≤

1

i

-1，即b_i≤a_i-1，当且仅当i=1时取等号，
∴

n

i=1

(ai-1)≥

n

i=1

bi，当且仅当n=1时取等号，
（3）由（1）知cn=

1

n

+ln

1

n

，显然{c_n}是一个递减数列，
∴

cn-cm

n-m

＜0对 n≠m，n∈N₊，m∈N₊恒成立．
取n=m+1，
则

cn-cm

n-m

=cn-cm=(

1

m+1

+ln

1

m+1

)-(

1

m

+ln

1

m

)=-

1

(m+1)m

+ln(1-

1

m+1

)→0 (m→+∞)
∴存在k满足

cn-cm

n-m

＜k (n≠m)恒成立，k的取值范围是[0，+∞）．

点评：本题是函数与导数、数列、不等式的综合．考查构造（新数列，函数）、转化、计算、推理论证能力．