Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，2^S_n=n
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）求数列{2${\;}^{{S}_{n}+n}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由2^S_n=n，可得S_n=log₂n，当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．
（II）2${\;}^{{S}_{n}+n}$=${2}^{{S}_{n}}•{2}^{n}$=n•2ⁿ．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得数列{2${\;}^{{S}_{n}+n}$}的前n项和T_n．

解答 解：（I）∵2^S_n=n，
∴S_n=log₂n，
当n=1时，a₁=S₁=0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=log₂n-log₂（n-1）=$lo{g}_{2}\frac{n}{n-1}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{lo{g}_{2}\frac{n}{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
（II）2${\;}^{{S}_{n}+n}$=${2}^{{S}_{n}}•{2}^{n}$=n•2ⁿ．
∴数列{2${\;}^{{S}_{n}+n}$}的前n项和T_n=2+2•2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．