Question

设F₁、F₂是双曲线

x2

4a

-

y2

a

=1的两个焦点，点P在双曲线上，∠F₁PF₂=90°若△F₁PF的面积为1，则a的值是（　　）

• A、1
• B、

  5

  2

• C、2
• D、

  5

Answer 1

分析：根据根据双曲线性质可知PF₁-PF₂的值，再根据∠F₁PF₂=90°，求得PF₁²+PF₂²的值，进而根据勾弦定理求得PF₁•PF₂，进而可求得△F₁PF₂的面积得到关于a的等式即可求出a值．

解答：解：双曲线

x2

4a

-

y2

a

=1的实半轴长a₁=2

a

，虚半轴长b=

a

，c=

5a

不妨设PF₁＞PF₂，则PF₁-PF₂=2a₁=4

a

，
F₁F₂²=PF₁²+PF₂²，而F₁F₂=2c=2

5a

，
得PF₁²+PF₂²=（PF₁-PF₂）²+2PF₁•PF₂=20a，
∴PF₁•PF₂=2a，
∴S=

1

2

PF1•PF2=a=1
则a的值是1．
故选A．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质、解直角三角形．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系．