Question

已知函数f(x)=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞)，
（1）当a=

1

2

时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围；
（3）若对任意a∈[-1，1]，f（x）＞4恒成立，试求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先将原式化成：f(x)=

x2+2x+ 1 2

x

  = x+

1

2x

 +2，再利用基本不等式即可求得函数f（x）的最小值；
（2）原题等价于x²+2x+a＞0对x∈[1，+∞）恒成立，再结合二次函数的单调性只须g（1）＞0，从而求得实数a的取值范围；
（3）将原问题转化为关于参数a的一次函数恒成立问题，利用一次函数的单调性即可解决问题．

解答：解：（1）f(x)=

x2+2x+ 1 2

x

  = x+

1

2x

 +2
因为当x∈[1，+∞），f（x）为增函数
所以f(x)≥ 1+

1

2

+2=3

1

2

当x=1时最小值是

7

2

（2）因为x≥1所以原题等价于x²+2x+a＞0对x∈[1，+∞）恒成立
又因为当x≥-1时g（x）=x²+2x+a是增函数
所以只需g（1）＞0即可a＞-3
（3）f(x)＞4 ?

x2+2x+a

x

＞4 ?

x2+2x+a

x

-4＞0h(a)=

x2+2x+a

x

 -4=

1

x

a+x-2
因为x∈[1，+∞）所以只需h（-1）＞0得x＞1

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．