Question

已知函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．定义a_n是函数f（x）的值域中的元素个数，数列{a_n}的前n项和为S_n，则满足a_nS_n＜500的最大正整数n=

9

．

Answer 1

分析：先由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，S_n，最后解不等式a_nS_n＜500即可求出所求．

解答：解：∵函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），
∴[x]=n，则x[x]=nx
∴函数f（x）的值域中的元素个数是n
∴a_n=n，S_n=

n(n+1)

2

∴a_nS_n=

n2(n+1)

2

＜500
令g（n）=

n2(n+1)

2

，则g'（n）=

3n2+2n

2

＞0
而g（9）=405＜500，g（10）=550＞500
∴满足a_nS_n＜500的最大正整数n=9
故答案为：9

点评：本题主要通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域，以及考查了数列与不等式的综合，属于中档题．