Question

如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）求四面体BDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）设正方形ABCD的中心为O，取BE中点G，连接FG，OG，由中位线定理，我们易得四边形AFGO是平行四边形，即FG∥OA，由直线与平面平行的判定定理即可得到AC∥平面BEF；
（2）由已知中正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，我们可以得到AB⊥平面ADEF，结合DE=DA=2AF=2．分别计算棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式即可求出四面体BDEF的体积．

解答：证明：（1）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，
所以，OG∥DE，且OG=

1

2

DE．
因为AF∥DE，DE=2AF，
所以AF∥OG，且OG=AF，
从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．
因为FG?平面BEF，AO?平面BEF，
所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分）
解：（2）因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
所以AB⊥平面ADEF．因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2
所以△DEF的面积为S_△DEF=

1

2

×ED×AD=2，
所以四面体BDEF的体积V=

1

3

•S_△DEF×AB=

4

3

（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定及棱锥的体积，（1）的关键是证明出FG∥OA，（2）的关键是得到AB⊥平面ADEF，即四面体BDEF的高为AB．