Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，点E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理及线面平行的判定定理即可证明；
（2）由BE∥MF，可得∠FMH是直线MF与平面PAD所成的线面角，解三角形FMH，可得答案．

解答：证明：（1）取PD的中点为M，连接ME，MF，
∵E是PC的中点，
∴ME是△PCD的中位线．
∴ME∥CD，ME=

1

2

CD．
又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴ME∥FB，且ME=FB．
∴四边形MEBF是平行四边形，
∴BE∥MF．
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
解：（2）由（1）得BE∥MF，
∴直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角．
过F做FH⊥AD，垂足为H，连MH
∵PA⊥平面ABCD
∴面PAD⊥平面ABCD
又∵面PAD∩平面ABCD=AD，FH⊥AD
∴FH⊥面PAD
∴∠FMH是直线MF与平面PAD所成的线面角
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，F是AB的中点
∴DF=

3

，FH=

3

2

又∵PH=

2

，PD=

5

∴PH⊥DF
∴MH=

5

2

，sin∠FMH=

FH

FM

=

15

5

．
∴直线BE与平面PAD所成的线面角的正弦值为

15

5

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理及利用等积变形计算三棱锥的体积的方法是解题的关键．